Για την κρέμα παρμεζάνας

Ζεσταίνουμε ένα κατσαρολάκι σε μέτρια φωτιά και ρίχνουμε μέσα την κρέμα γάλακτος. Σιγοβράζουμε μέχρι να συμπυκνωθεί κατά το 1/3. Αποσύρουμε από τη φωτιά και ρίχνουμε μέσα την παρμεζάνα. Μ' ένα σύρμα, ανακατεύουμε συνεχώς, μέχρι να λιώσει η παρμεζάνα και ομογενοποιηθούν τα υλικά.

Για τα κρουτόν πάπρικας

Σε μια μπασίνα ανακατεύουμε όλα τα υλικά μαζί. Αλατίζουμε και τα βάζουμε σ' ένα ταψί, που έχουμε στρώσει λαδόκολλα. Ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 180° C, μέχρι τα κρουτόν να γίνουν τραγανά εξωτερικά και στο κέντρο να είναι λίγο μαλακά.

Για τα τσιπς πατάτας "άχυρο"

Ρίχνουμε το ηλιέλαιο σε μια κατσαρόλα και το θερμαίνουμε στους 140° C. Ξεπλένουμε τα στικ πατάτας σε άφθονο νερό, σουρώνουμε και στεγνώνουμε καλά. Τα τηγανίζουμε μέχρι να ροδίσουν και να γίνουν τραγανά. Ακουμπάμε σε απορροφητικό χαρτί και αλατίζουμε. 

Για το τελείωμα του πιάτου

Ζεσταίνουμε ένα αντικολλητικό τηγάνι σε μέτρια φωτιά και ρίχνουμε το βούτυρο. Σπάμε τα αυγά μέσα στο τηγάνι και τα μαγειρεύουμε, μέχρι ν' ασπρίσει ελαφρώς το ασπράδι. Τοποθετούμε το τηγάνι σε προθερμασμένο φούρνο στους 180° C και ψήνουμε, μέχρι να πήξει το ασπράδι και ο κρόκος να είναι μελάτος. Αποσύρουμε το τηγάνι από τον φούρνο, αλατίζουμε και περιχύνουμε τα αυγά με την κρέμα παρμεζάνας. Βάζουμε από πάνω τα κρουτόν, τα ντοματίνια, το τραγανό προσούτο και τα τσιπς της πατάτας. Σερβίρουμε με το φρεσκοτριμμένο πιπέρι και τα φύλλα του μαϊντανού.